Question

什么叫做函数的连续性

Answer 1

在定义函数的连续性之前我们先来学习一个概念——增量

设变量x从它的一个初值x1变到终值x2，终值与初值的差x2-x1就叫做变量x的增量，记为 △x

即 △x=x2-x1 增量△x可正可负。

我们再来看一个例子 函数在点x0的邻域内有定义，当自变量x在领域内从x0变到x0+△x时，函数y相

应地从变到，其对应的增量为

这个关系式的几何解释如下图

现在我们可对连续性的概念这样描述 如果当△x趋向于零时，函数y对应的增量△y也趋向于零，

即

那末就称函数在点x0处连续

函数连续性的定义

设函数在点x0的某个邻域内有定义，如果有称函数在点x0处连续，

且称x0为函数的的连续点。

下面我们结合着函数左、右极限的概念再来学习一下函数左、右连续的概念

设函数在区间a,b]内有定义，如果左极限存在且等于，

即 =，那末我们就称函数在点b左连续。

设函数在区间[a,b内有定义，如果右极限存在且等于，

即 =，那末我们就称函数在点a右连续。

一个函数在开区间a,b内每点连续,则为在a,b连续，若又在a点右连续，b点左连续，则在闭区间[a，b]连续，如果在整个定义域内连续，则称为连续函数。

注 一个函数若在定义域内某一点左、右都连续，则称函数在此点连续，否则在此点不连续。

注 连续函数图形是一条连续而不间断的曲线。

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