Question

定义运算a*b={a,a<=b b,a>b,例如，1*2=1，则函数f(x)=x^2*(1-|x|)的最大值为_______

Answer 1

运算a*b={a,a<=b b,a>b,为取a,b的较小值

函数f(x)=x^2*(1-|x|)为取在y1=x^2和y2=1-|x|

这2个的较小的y值，在同一坐标系下画出

2个函数图像，取在下方的图像即是f(x)图像

f(x)的最大值即是y1=x^2和y2=1-|x|交点的纵坐标

 x>0时x^2=1-x==>x^2+x-1=0 解得x=(√5-1)/2

  y=1-x=(3-√5)/2

∴f(x)的最大值为(3-√5)/2

Answer 2

令g(x)=x^2，h(x)=1-|x|
1、当x>=0,h(x)=1-x，当g(x)=h(x),解得x=(√5-1)/2
当x>=(√5-1)/2时，g(x)>=h(x)，所以f(x)=1-x，此时最大值为：1-(√5-1)/2=(3-√5)/2
当(√5-1)/2>x>=0时，g(x)<=h(x),所以f(x)=x^2,此时最大值为：[(√5-1)/2]^2=(3-√5)/2
所以当x>=0时，f(x)的最大值为(3-√5)/2
2、当x<0时，h(x)=1+x，当g(x)=h(x)，解得x=(1-√5)/2
当x<(1-√5)/2时，g(x)>=h(x)，所以f(x)=1+x，此时最大值为：1+(1-√5)/2=(3-√5)/2
当0>x>=(1-√5)/2时，g(x)<=h(x)【可以通过画图，发现g(x)在h(x)的下面】，所以
f(x)=x^2,此时是单调递减，所以最大值为[(1-√5)/2]^2=(3-√5)/2
综上f(x)的最大值为(3-√5)/2

Answer 3

运算用文字表述即为取小。设g(x)=x²，t(x)=1-|x|,这两个函数都是偶函数，只需考虑x>0的情况。
g(x)单调增，t(x)单调减，故要想f(x)取得最大值，有g(x)=t(x),解得：当x=(√5-1)/2时，f(x)有最大值，为(3-√5)/2.