Question

已知向量组a1a2a3线性无关，向量组β1=α1+2α2，β2=-α1+α2-3α3？

已知向量组a1a2a3线性无关，向量组β1=α1+2α2，β2=-α1+α2-3α3，β3=3α1+6α3，证明向量组β1，β2，β3线性相关

Answer 1

为了证明向量组$\beta_1, \beta_2, \beta_3$线性相关，我们需要找到一组不全为零的系数$c_1, c_2, c_3$，使得$c_1\beta_1 + c_2\beta_2 + c_3\beta_3 = 0$。

首先，我们可以用$\beta_1$和$\beta_2$表示$\alpha_1$和$\alpha_2$，即

$$\alpha_1 = \frac{1}{2}\beta_1 - \frac{1}{2}\beta_2, \quad \alpha_2 = \frac{1}{2}\beta_1 + \frac{1}{2}\beta_2$$

然后，我们可以将$\beta_3$表示为$\alpha_1$和$\alpha_3$的线性组合，即

$$\beta_3 = 3\alpha_1 + 6\alpha_3 = \frac{3}{2}\beta_1 - \frac{3}{2}\beta_2 + 9\alpha_3$$

现在，我们可以将$c_1\beta_1 + c_2\beta_2 + c_3\beta_3$表示为$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$的线性组合：

$$c_1\beta_1 + c_2\beta_2 + c_3\beta_3 = c_1\left(\frac{1}{2}\beta_1 - \frac{1}{2}\beta_2\right) + c_2\left(\frac{1}{2}\beta_1 + \frac{1}{2}\beta_2\right) + c_3\left(\frac{3}{2}\beta_1 - \frac{3}{2}\beta_2 + 9\alpha_3\right)$$

$$= \frac{1}{2}(c_1 + c_2 + \frac{3}{2}c_3)\beta_1 - \frac{1}{2}(c_1 - c_2 - \frac{3}{2}c_3)\beta_2 + 9c_3\alpha_3$$

因此，如果我们令$c_1 + c_2 + \frac{3}{2}c_3 = 0$和$c_1 - c_2 - \frac{3}{2}c_3 = 0$，则$c_1\beta_1 + c_2\beta_2 + c_3\beta_3 = 0$。这等价于解以下线性方程组：

线性方程式

解得$c_1 = \frac{3}{4}c_3$和$c_2 = -\frac{3}{4}c_3$。因此，我们可以选择$c_3$为任意非零常数，例如$c_3 = 1$，得到

$$c_1 = \frac{3}{4}, \quad c_2 = -\frac{3}{4}, \quad c_3 = 1$$

这样，我们就找到了一组不全为零的系数$c_1, c_2, c_3$，使得$c_1\beta_1 + c_2\beta_2 + c_3\beta_3 = 0$，因此向量组$\beta_1, \beta_2, \beta_3$线性相关。

可以看出，我们的证明基于以下两个事实：

• $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$是线性无关的，因此，我们可以用$\beta_1$和$\beta_2$表示$\alpha_1$和$\alpha_2$，然后将$\beta_3$表示为$\alpha_1$和$\alpha_3$的线性组合。

• 我们可以找到一组不全为零的系数$c_1, c_2, c_3$，使得$c_1\beta_1 + c_2\beta_2 + c_3\beta_3 = 0$。这是通过将$c_1\beta_1 + c_2\beta_2 + c_3\beta_3$表示为$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$的线性组合，并解出$c_1, c_2, c_3$的值得到的。

因此，向量组$\beta_1, \beta_2, \beta_3$线性相关，证毕。

Answer 2

首先，我们可以将β1，β2，β3表示为a1，a2，a3的线性组合，具体地：
β1 = α1 + 2α2 = 1α1 + 0α2 + 2α3
β2 = -α1 + α2 - 3α3 = -1α1 + 1α2 - 3α3
β3 = 3α1 + 6α3 = 3α1 + 0α2 + 6α3
现在，我们来看看是否存在不全为零的系数c1，c2，c3，使得c1β1 + c2β2 + c3β3 = 0。
将上式代入，得到：
c1β1 + c2β2 + c3β3 = c1(1α1 + 0α2 + 2α3) + c2(-1α1 + 1α2 - 3α3) + c3(3α1 + 0α2 + 6α3)
= (c1 - c2 + 3c3)α1 + (c2 + 6c3)α3
因为a1，a2，a3线性无关，所以系数c1 - c2 + 3c3 = c2 + 6c3 = 0，这是一个二元一次方程组，可以解得c1 = 3c2，c3 = -c2/2。
因此，存在不全为零的系数c1，c2，c3，使得c1β1 + c2β2 + c3β3 = 0，即向量组β1，β2，β3线性相关。

Answer 3

因为 -β1+2β2+β3=-(α1+2α2)+2(-α1+α2-3α3)+(3α1+6α3)=0，
且 -1、2、1 不全为 0，
所以向量组 β1，β2，β3 线性相关。
也可以计算行列式 |1，2，0；-1，1，-3；3，0，6|=0，
说明 β1，β2，β3 线性相关。