Question

如图,在三角形ABC中,AB=13,BC=14,cos角ABC=5/13

探究：如图1，AH⊥BC于点H，则AH=12 12 ，AC=15 15 ，△ABC的面积S△ABC=84 84 ；
拓展：如图2，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E，F，设BD=x，AE=m，CF=n（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD=0）
（1）用含x，m，n的代数式表示S△ABD及S△CBD；
（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；
（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的求值范围．
发现：请你确定一条直线，使得A B C三点到这条直线的距离之和最小，并写出这个最小值

Answer 1



1. 探究：在直角△ABH中，∵∠AHB=90°，AB=13，cos∠ABC=5/13
   ∴BH=AB•cos∠ABC=5，AH=12，
   ∴CH=BC-BH=9．
   在△ACH中，∵∠AHC=90°，AH=12，CH=9，
   ∴AC=15，
   ∴S△ABC=1/2
   BC•AH=1/2×14×12=84．
   故答案为12，15，84；
   
   拓展  （1）由三角形的面积公式，得S△ABD=1/2BD•AE=1/2xm，
   S△CBD=1/2BD•CF=1/2xn；
   （2）由（1）得
   m=
   2S△ABDx
   n=
   2S△CBDx
   ∴m+n=
   2S△ABDx
   +
   2S△CBDx
   =
   168x
   ，
   ∵AC边上的高为
   2S△ABC15
   =
   2×8415
   =
   565
   ，
   ∴x的取值范围是
   565
   ≤x≤14．
   ∵（m+n）随x的增大而减小，
   ∴当x=
   565
   时，（m+n）的最大值为15；
   当x=14时，（m+n）的最小值为12；
   （3）x的求值范围是x=
   565
   或13＜x≤14．
   发现：∵AC＞BC＞AB，
   ∴过A、B、C三点到这条直线的距离之和最小的直线就是AC所在的直线，AC的长为
   565