Question

8．(2012·辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中第二次联考25题)

8．(2012·辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中第二次联考25题)如图8所示，倾角为30°、足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ相距L1＝0.4 m，B1＝5 T的匀强磁场垂直导轨平面向上．一质量m＝1.6 kg的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，其电阻r＝1 Ω.金属导轨上端连接右侧电路，R1＝1 Ω，R2＝1.5 Ω.R2两端通过细导线连接质量M＝0.6 kg的正方形金属框cdef，正方形边长L2＝0.2 m，每条边电阻r0为1 Ω，金属框处在一方向垂直纸面向里、B2＝3 T的匀强磁场中．现将金属棒由静止释放，不计其他电阻及滑轮摩擦，g取10 m/s2. (1)若将电键S断开，求棒下滑过程中的最大速度． (2)若电键S闭合，每根细导线能承受的最大拉力为3.6 N，求细导线刚好被拉断时棒的速度． (3)若电键S闭合后，从棒释放到细导线被拉断的过程中，棒上产生的电热为2 J，求此过程中棒下滑的高度(结果保留一位有效数字)．

Answer 1

1. 棒下滑的最大速度为最终匀速运动的速度，最终匀速运动受力平衡，得：

   F安=mgsinθ 

   F安=B1·I·L1；I=E/(r+R1+R2)；E=B1·L1·v(max)

   整理得到：B1²L1²v(max)/(r+R1+R2)=mgsinθ

   解得：v(max)=(r+R1+R2)mgsinθ/B1²L1²=7m/s

2. 先分析金属框的受力，cd边 与 ef边均受到竖直向下的安培力，在加上重力 等于2倍细导线的拉力T，cd与ef中的电流是不一样的，设：ef中电流为I，则cd中电流为3I。

   B2·I·L2+B2·3I·L2+Mg=2T

   解出：I=0.5A

   R2两端的电压为3Iro，R2的电流 I2=3Iro/R2=1A

   细导线中的电流为4I

   ab棒中电流 I1=I2+4I=3A

   金属框的等效电阻R框=3ro/4=0.75Ω

   R2与R框并联电阻 R并=0.5Ω

   设：这时棒的速度为v1

   E=B1L1v1 =I1(r+R1+R并)

   v1=I1(r+R1+R并)/B1L1=3.75 m/s

3. 用能量守恒：棒下降，减少的势能=增加的动能+电流产生的内能

   产生的内能有：棒的Q=2J，

                           R1的Q1，R1的电阻等于棒的，所以 Q1=Q=2J

                           R并部分的Q2，R并=0.5Ω  是棒的一半，所以 Q2=1J

   棒的速度也有 v1=3.75m/s

   mgh=½mv1²+Q+Q1+Q2

   16h=0.8×3.75²+2+2+1

   h=1.00778≈1.0m