Question

大学数学线性代数行列式，求解此题，谢谢

Answer 1

解: 系数行列式 D =
1 1 1
a b c
bc ac ab
r2-ar1,r3-bcr1
1 1 1
0 b-a c-a
0 c(a-b) b(a-c)
r3+cr2
1 1 1
0 b-a c-a
0 0 (b-c)(a-c)
= (b-a)(b-c)(a-c).

D1 =
a+b+c 1 1
a^2+b^2+c^2 b c
3abc ca ab
c1-bc2-cr3
a 1 1
a^2 b c
abc ca ab
第1列提出a
D1 = aD
同理得
D2 = bD
D3 = cD
因为a,b,c为不相等的常数, 所以 D≠0.
所以 x=D1/D=a, y=D2/D=b, z=D3/D=c.

Answer 2

方程组改写为
(x-a)+(y-b)+(z-c)=0
a(x-a)+b(y-b)+c(z-c)=0
bc(x-a)+ac(y-b)+ab(z-c)=0
以x-a,y-b,z-c为新的未知量，方程组是齐次线性方程组，系数行列式D=
|1 1 1|
|a b c|
|bc ac ab|
=(b-a)(c-b)c-a)
(计算思路：
第一行乘以-a加到第二行，乘以-bc加到第三行；
按照第一列展开，得一个二阶行列式；
第一列提取公因子b-a，第二列提取公因子c-a；
剩下的二阶行列式等于c-b）
因为a,b,c互不相等，所以D≠0，所以新方程组只有零解，所以原方程组的解是x=a，y=b，z=c。