Question

求一道微积分证明题目

Answer 1

设(x^2-t )f(t)的原函数是h(t)，则积分等于h(x^2) -h(0)
所以导数等于g'(x)=e^x +dh(x^2)/dx
= e^x + 2xh'(x^2 ) =e^x + 2x(x^2-x^2)f(x^2) =e^x
g''(x)=e^x
所以看起来函数是凸函数而不是凹函数

Answer 2

g(x)=e^x+x^2∫(0→x^2)f(t)dt-∫(0→x^2)tf(t)dt
g'(x)=e^x+2x*∫(0→x^2)f(t)dt+x^2f(x^2)*2x-x^2f(x^2)*2x=e^x+2x*∫(0→x^2)f(t)dt
g''(x)=e^x+2∫(0→x^2)f(t)dt+2x*f(x^2)*2x=e^x+2∫(0→x^2)f(t)dt+4x^2f(x^2)>0（因为f(x)>0，所以∫(0→x^2)f(t)dt>=0，f(x^2)>0），所以是凹函数