Question

求与双曲线x²/16-y²/4＝1有公共焦点，且过点(3根号2，2)的双曲线的标准方程

这个双曲线方程为 x^2/(16-k)-y^2/(4+k)=1 为什么啊这样设啊，为什么是16-k 。和4+k

Answer 1

这种设法采用了“共焦点二次曲线系”：对于二次曲线x^2/m+y^2/n=1，其半焦距c=√|m-n|，与其共焦点的二次曲线系为x^2/(m-k)+y^2/(n-k)=1。具体而言，令m=16，n=-4，则与双曲线x^2/16-y^2/4=1（显然焦点在x轴上）共焦点的双曲线系为x^2/(16-k)-y^2/(4+k)=1（注意到16-k>0，4+k>0，即-4<k<16）
也可以直接设所求双曲线标准方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1。因已知双曲线x^2/16-y^2/4=1的半焦距为2√5，而所求双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1与已知双曲线x^2/16-y^2/4=1共焦点，则c=√(a^2+b^2)=2√5（I）。又因点(3√2,2)在所求双曲线上，则(3√2)^2/a^2-2^2/b^2=1（II）。由（I）（II）可解得a、b，即可确定所求双曲线标准方程。

追问

（显然焦点在x轴上）共焦点的双曲线系为x^2/(16-k)-y^2/(4 k)=1（注意到16-k>0，4 k>0，即-4<k<16）这个范围，才是这个双曲线在x轴

追答

正是

Answer 2

x²/16-y²/4＝1,c=√16+4=√20=2√5 b²=c²-a²=20-a²
x²/a²-y²/(20-a²)=1,过点(3√2，2)
18/a²-4/(20-a²)=1
a²1=30,a2²=12,b1²=20-30=-10(不符合,舍去),b2²=20-12=8
双曲线的标准方程为:x²/12-y²/8=1
经过验证还真的正确.a`=a+k,b`=b-k
从理论上可以证明这一结论=
∵a²+b²=c² , a`²=a²+k, b`²=b²+h a`²+b`²=c²
∴a²+k+b²+h=c²
c²+k+h=c²,
K+h=0
h=-k,
∴两双曲有共焦点(C相同)时a`²=a²+k, b`²=b²-K

Answer 3

因为两个方程的c^2=a^2+b^2是一样的，仅此而已