Question

已知函数f(x)=sinx+acosx的图像的一条对称轴是x=5π/3，则函数g(x)=asinx+

已知函数f(x)=sinx+acosx的图像的一条对称轴是x=5π/3，则函数g(x)=asinx+cosx的初相是？

Answer 1

已知函数f(x)=sinx+acosx的图像的一条对称轴是x=5π/3，则函数g(x)=asinx+cosx的初相是？

解：f(x)=sinx+tanθcosx=sinx+(sinθ/cosθ)sinx
=(1/cosθ)(sinxcosθ+cosxsinθ)=(1/cosθ)sin(x+θ)；其中tanθ=a。
因为有一条对称轴是x=5π/3，当a<0时取5π/3+θ=3π/2，得θ=3π/2-5π/3=-π/6.
此时a=tan(-π/6)=-√3/3；cosθ=cos(-π/6)=cos(π/6)=√3/2，故f(x)=[(2/3)√3]sin(x-π/6)
g(x)=-(√3/3)sinx+cosx=cosx-(√3/3)sinx=cosx-tan(π/6)sinx
=[1/cos(π/6)][cosxcos(π/6)-sinxsin(π/6)]=[(2/3)√3]cos(x+π/6)
故当a<0时g(x)的初相是π/6.
当a≧0时，经验算，f(x)不可能有x=5π/3的对称轴【过程繁琐，故免去。】

Answer 2

已知函数f(x)=sinx+acosx的图像的一条对称轴是x=5π/3，则函数g(x)=asinx+cosx的初相是
因为函数f(x)=sinx的图像的对称轴是x=kπ+π/2
设sinψ1=a/√（a²+1)，cosψ1=1/√（a²+1)，tanψ1=a
f(x)=sinx+acosx=√（a²+1)(sinxcosψ1+sinψ1cosx)=√（a²+1)sin(x+ψ1)
函数f(x)=sinx+acosx的图像的一条对称轴是x=5π/3
x+ψ1=kπ+π/2
ψ1=kπ+π/2-5π/3=(k-1)π-π/6
函数g(x)=asinx+cosx=√（a²+1)(sinxsinψ1+cosψ1cosx)=√（a²+1)[sinxcos(π/2-ψ1)+sin(π/2-ψ1)cosx]= √（a²+1)sin(x+π/2-ψ1)
当a≥0时，取ψ1∈[0，π]，有k=2，ψ1=5π/6，函数g(x)=asinx+cosx的初相是-π/3。
当a〈0时，取ψ1∈[-π，0]，有k=1，ψ1=-π/6，函数g(x)=asinx+cosx的初相是2π/3。