Question

有关大一数学微积分第二类换元积分法的问题。

在书本P193页有一句话是这样写的：利用三角函数代换时，我们总是默认其反函数在主值范围且在被积函数的定义域内。这句话怎么理解，可以用具体例子来说明吗？还有一些问题请见图片。

Answer 1

(1)
令 x=asint时 我们知道：
a²-x²≥0
解得：a≥x≥-a
x的定义域为 [-a,a]
则x=a时，sint=1 t=π/2
x=-a时，sint=-1 t=-π/2
所以 t的取值范围为 -π/2 ≤t≤π/2
(2)
因为√(x²-a²)≠0
x²-a²>0
x>a or x<-a 与 (1)的区别为 (1)的定义域是连续的 不需要分开讨论了
这时，我们将积分拆开
即原式=∫(-∞→-a) dx/√(x²-a²)+∫(a→+∞) dx/√(x²-a²)
对于 x>0同样 设 x=asect
x→+∞ sect→+∞ 即 1/cost→+∞ cost→0 t→π/2
x→a sect→1 即 1/cost→1 cost→1 t→0
则 0<t<π/2
(3)
-ln|[√(x+1)-√x]/[√(x+1)+√x]|
=ln|[√(x+1)+√x]/[√(x+1)-√x]|
=ln| [√(x+1)+√x]²/{[√(x+1)-√x][√(x+1)+√x]} |
=ln| [√(x+1)+√x]² |
=ln| x[√(x+1)/x+1]² |
=2ln| √[(x+1)/x]+1 | + ln|x|

追问

我打的主值范围那句话怎么理解呢？还有既然x已经设成边长了不是应该都是正的吗？

追答

就是三角变化后 例如 x=sint 其反函数 t=arcsinx 的定义域要和 原始被积函数的定义域相同
同时主值范围即 t 的取值范围是在该定义域下能取到的值域