Question

数学问题1

问题：三角形ABC中，角B等于60度，角等于45度，高AD等于√3，在角BAC内作射线AM交BC于点M，求BM<1的概率。 为什么不能用边长之比这种方法？只能用测度法？为什么？

Answer 1

所谓测度法算概率，是指

a.事件发生的可能性有无限多 

b.事件发生的可能性只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例

这种情况下，即可用测度法算概率，即计算长度、面积或体积的比率的方式：

P(A)=构成事件A的区域长度 (面积或体积)/试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

所有，你说的不能用边长之比来算概率，并不是不能用测度法来算。

变长之比也是几何长度之比，但不应该是这两个长度的比。

当然，M点落在BD边上，则BM<1，落在MC上则BM>1。

但感觉用BD和BC这两边比值来算概率，增觉得有点不对。

从A点在角BAC内做射线，点A到BC边上各点的距离是不相等的，这隐含着如果用它的长度来算的法可能并不能反应事件的均等性。

如果以A为圆心，AD为半径，做圆，交边AC、AB于C'、B‘。

这个时候，用部分弧长B’F比整体弧长B‘FC’，这个两个几何长度的比应该更能反应事件的真实概率。

部分弧长B’F/整体弧长B‘FC’=角BAF度数/角BA度数=30°/(30°+45°)=30/75=6/15=40%

所以，BM<1的概率应该是40%

 

如果按BF/BC来算，则有：BF/BC=1/(1+sqrt(3))=36%，比真实概率要低，这是不对的。

 

   所以，选取的几何对象要反应事件发生的均等性，然后：事件区域测量值/所有基本事件对应区域测量值 才能反应事件发生的真实概率

 

Answer 2

在∠BAC内作射线AM，就把∠BAC作为标的，所以不能用边长之比作为概率.
∠BAC=75°，∠BAD=30°，BM<1<==>AM在∠BAD内，所以所求概率=30/75=0.4.
连续变量有无穷多个值，它的的概率只能用测度法。

Answer 3

因为角B等于60度, AD=√3 AB=2BD=2 BD=1
因为角C等45度 CD=AD=√3
BM<1的概率=1/(1+√3)≈36.6%