Question

抛物线焦点在y轴上,图像上一点M(m,4)到焦点的距离为5

抛物线焦点在y轴上,图像上一点M(m,4)到焦点的距离为5

（1）求抛物线方程和m值
（2）求点M处切线方程

Answer 1

（1）设x²=2px，焦点（p/2，0），准线x=-p/2
∵M到焦点的距离等于M到准线的距离
∴4+p/2=5
∴p=2
∴x²=4y

（2）将（m，4）代入方程
m²=16
∴m=±4
①M（4，4）
设y=k（x-4）+4
与方程联立方程组：
x²=4k（x-4）+16
x²-4kx+16k-16
△=0
解得k=2
∴y=2（x-4）+4=2x-4
②M（-4，4）
同理解得：k=-2
∴y=-2（x+4）+4=-2x-4

综上所述，M处的切线为：
y=2x-4或y=-2x-4