Question

如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE,DF分别平分∠ABC，∠ADC，判断BE,DF是否平行，并说明理由

Answer 1

解：BE//DF，理由如下：
因为 四边形ABCD，所以 ∠ADC+∠ABC+∠A+∠C=360
因为∠A=∠C=90，所以 ∠ADC+∠ABC=180
又因为BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC，所以 ∠ADF=∠CDF，∠ABE=∠EBC
所以 ∠ADF+∠ABE=90
在直角三角形ADF中，∠ADF+∠AFD=90，所以 ∠ABE=∠AFD
根据“同位角相等，两直线平行”定理，可推断出BE//DF

Answer 2

∠A+∠C+∠ADC+∠CBA=360
∠A+∠C=90+90=180
∠ADC+∠ABC=180
BE,DF分别平分∠ABC，∠ADC
∠FDE+∠EBF=0.5(∠ADC+∠ABC)=90
由于∠FDE=∠ADF=90-∠DFA
则∠EBF=∠DFA
同位角相等，两直线平行，故：DF//EB得证。

Answer 3

BE∥DF
证明：
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC/2
∵∠C＝90
∴∠CEB＝90-∠CBE＝90-∠ABC/2
∵DF平分∠ADC
∴∠CDF＝∠ADC/2
∵∠A＝90
∴∠ADC+∠ABC＝360-（∠A+∠C）＝360-180＝180
∴∠ADC＝180-∠ABC
∴∠CDF＝∠ADC/2＝90-∠ABC/2
∴∠CEB＝∠CDF
∴BE∥DF