Question

接下列方程。(x+3)的四次方+(x+1)的四次方=82

Answer 1

令 t=x+2 ，则方程化为 (t+1)^4+(t-1)^4=82 ，
展开合并整理得 t^4+6t^2-40=0 ，
分解得 (t^2-4)(t^2+10)=0 ，
所以 t^2=4 ，t=±2 ，
即 x+2=±2 ，
因此 x=0 或 x= -4 。

追问

t^4+6t^2-40=0....怎么整理得出这一步啊

追答

(t+1)^4=t^4+4t^3+6t^2+4t+1 ，
(t-1)^4=t^4-4t^3+6t^2-4t+1 ，
两式相加得 2(t^4+6t^2+1) 。

Answer 2

(x+3)^4+(x+1)^4=82
(x+3)^4-2(x+3)^2(x+1)^2+(x+1)^4+2(x+3)^2(x+1)^2=82
[(x+3)^2-(x+1)]^2+2(x+3)^2(x+1)^2=82
[(x+3-x-1)(x+3+x+1)]^2+2(x+3)^2(x+1)^2=82
[4(x+2)]^2+2[(x+2)+1]^2[(x+2)-1]^2=82
[4(x+2)]^2+2{[(x+2)+1][(x+2)-1]}^2=82
[4(x+2)]^2+2{(x+2)^2-1}^2=82
[4(x+2)]^2+2{(x+2)^4-2(x+2)^2+1}=82
16(x+2)^2+2(x+2)^4-4(x+2)^2+2=82
2(x+2)^4+12(x+2)^2-80=0
(x+2)^4+6(x+2)^2-40=0
[(x+2)^2+10][(x+2)^2+4]=0
因为(x+2)^2+10>0
所以(x+2)^2-4=0
(x+2-2)(x+2+2)=0
x(x+4)=0
x=0或x=-4

Answer 3

x+3=a ; x+1=b => a-b=2 ; a^4 +b^4=82
=> a^2+b^2=(a-b)^2 +2ab=4+2ab
=> a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=16+16ab+4a^2b^2-2a^2b^2=2a^2b^2+16ab+16=82
=>a^2b^2+8ab-33=0=(ab+11)(ab-3) => ab=-11 or 3
=>(a+b)^2=4+4ab=-40 or 16 => a+b=±2√10 i or±4
=>a-b=2 ;a+b=2 √10 i ; a-b=2;a+b=-2√10 i ; a-b=2;a+b=4 ; a-b=2;a+b=-4
=> a=1+√10 i a=1-√10 i a=3 a=-2
=> x=a-3=-2+√10 i ; -2-√10 i ; 0 ; -5 .........ans