Question

在三角形ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosC,bcosB,acosA成等差数列，（1）求B大小

(2)若a+c=4,求AC边上中线长的最小值。
麻烦高手帮我解决一下第二问，最好是通俗简便的方法，拜托了。。。
抱歉，打错一个字母.....题中acosA改成ccosA

Answer 1

acosC,bcosB,ccosA成等差数列
2bcosB=acosC+ccosA.
根据正弦定理得
a/sinA=b/sinB=c/sinC=k
a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC
代入上式得
2ksinBcosB=ksinAcosC+ksinCcosA
sin2B=sin(A+C)=sinB
B=60°
2sin^2A+cos(A-C)
=2sin^2A+cos[A-(120-A)]
=2sin^2A+cos(2A-120)
=1-cos2A+cos(2A-120)
=1+2sin(2A-60)sin60
=1+√3sin(2A-60)
由于0<2A<120
所以-√3/2<sin(2A-60)<1
1-√3/2<2sin^2A+cos(A-C)<2
、、直接搜的到答案的就不用放上来了撒、、】

追问

本人才疏学浅，第二问没看懂。我不懂您第二问写的是什么，正确答案是 根3

追答

好吧好吧、、

因为acosC、bcosB、ccosA成等差数列，
所以2bcosB=acosC+ccosA
因为三角形中b/sinB=a/sinA=c/sinC=2R
所以2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA
即sin2B=sin(A+C)
有2B=A+C或2B+A+C=180º (舍，因为A+B+C=180º )
所以3B=180º B=60º
你将△ABC补全成一个平行四边形ABCD
用△ABD，设AC边上中线长X
有（2X)^2=a^2+c^2-2accos120º
所以(2X)^2=(a+c)^2-ac
即ac=16-(2X)^2≤【(a+c)^2】/4（等号成立）
所以16-(2X)^2≤4
X≥√3

我做个差不多的题目、、但是问题不一样- -真无奈类、、我直接复制的了、、】