Question

跪求一道高中的不等式题，听老师说方法是用柯西不等式。但是不知道怎么用，问好多人都不会

Answer 1

首先题目肯定缺条件, 否则a1可以取遍任意实数.
例如取a1 = x, a2 = 3-x, a3 = (1-x)/3, a4 = (x-1)/3.

猜测应该有条件a1, a2, a3, a4是非负实数.
用a1, a2解出a3, a4.
有a3 = (13-5a1-4a2)/3, a4 = (2a1+a2-4)/3.
于是条件化为a1 ≥ 0, a2 ≥ 0, 13-5a1-4a2 ≥ 0, 2a1+a2-4 ≥ 0.
此时求a1的取值范围是个线性规划问题.

这里只有两个变量, 可以在坐标平面上画出这个不等式组的解集, 然后得到a1的取值范围.
从图像得到的信息也可以代数化, 得到如下解法:
∵13-5a1-4a2 ≥ 0, 2a1+a2-4 ≥ 0,
∴3a1-3 = (13-5a1-4a2)+4(2a1+a2-4) ≥ 0, 即a1 ≥ 1.
可验证a1 = 1, a2 = 2, a3 = a4 = 0时等号成立, 故a1的最小值为1.
又∵a2 ≥ 0, 13-5a1-4a2 ≥ 0,
∴13-5a1 = (13-5a1-4a2)+4a2 ≥ 0, 即a1 ≤ 13/5.
可验证a1 = 13/5, a2 = 0, a3 = 0, a4 = 2/5时等号成立, 故a1最大值为13/5.
对0 ≤ t ≤ 1, 取a1 = 13t/5+(1-t) = 8t/5+1, a2 = 2(1-t) = 2-2t, a3 = 0, a4 = 2t/5.
可知当t取遍[0,1]时, a1可以取遍[1,13/5], 于是a1的取值范围就是[1,13/5].

如果题目就是我想的这样, 个人认为是用不上Cauchy不等式的.