已知函数f(x)=lnx-a(x-1)/x(a∈R)(1)求f(x)的单调区间(2)求证:不等式1/lnx-1/x-1<1/2对一切x∈（1,2）
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（1）函数f(x)=lnx-[a(x-1)/x]，定义域x(0,+∞)；
f'(x)=(1/x)-(a/x²)，令 f'(x)=0，得函数驻点方程：(1/x)-(a/x²)=0，解得 x=a；
一、若 a<0，则题给函数无极值点，函数在整个定义域单调；
二、若 a>0，则当 0<x<a 时，f'(x)<0，函数单调减小；当 a≤x<+∞ 时，f'(x)>0，函数单调增加；
（2）假定不等式形式为：(1/lnx)-[1/(x-1)]<1/2；
当 x→1+时，lnx>0，因 lim{lnx/(x-1)}=lim{1/x}=→+∞，题给不等式左端前项小于后项，结论成立；
取函数 F(x)=(1/lnx)-[1/(x-1)]，在区间(1,2)内，F(x)连续可微，且 F'(x)=1/(x*ln²x)+1/(x-1)²>0 ，即 F(x) 是单调递增函数，结论成立；
f'(x)=(1/x)-(a/x²)，令 f'(x)=0，得函数驻点方程：(1/x)-(a/x²)=0，解得 x=a；
一、若 a<0，则题给函数无极值点，函数在整个定义域单调；
二、若 a>0，则当 0<x<a 时，f'(x)<0，函数单调减小；当 a≤x<+∞ 时，f'(x)>0，函数单调增加；
（2）假定不等式形式为：(1/lnx)-[1/(x-1)]<1/2；
当 x→1+时，lnx>0，因 lim{lnx/(x-1)}=lim{1/x}=→+∞，题给不等式左端前项小于后项，结论成立；
取函数 F(x)=(1/lnx)-[1/(x-1)]，在区间(1,2)内，F(x)连续可微，且 F'(x)=1/(x*ln²x)+1/(x-1)²>0 ，即 F(x) 是单调递增函数，结论成立；
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