Question

设函数F(x)=x^2+ax+b,且方程F(x)=0在区间(0,1)和(1,2)上各有一解,则2a-b的取值范围用区间表示为?

Answer 1

解：设F(x)=0的两个解分别为x1、x2，则：x1+x2=-a,x1x2=b；
又方程F(x)=0在区间（0,1）和（1,2）上个有一解，
∴0<x1<1,1<x2<2
∴1<x1+x2<3,0<x1x2<2
∴1<-a<3,0<b<2
∴-2>2a>-6,0>-b>-2
∴-2>2a-b>-8
∴2a-b∈（-8，-2）

Answer 2

∵函数F(x)=x^2+ax+b为开口朝上的抛物线
方程F(x)=0在区间(0,1)和(1,2)上各有一解
那么f(0)=b>0
f(1)=a+b+1<0
f(2)=2a+b+4>0
满足条件的点P(a,b)在坐标系aOb构成的区域
为三角形区域(不含边界，顶点A(-1,0),B(-2,0),C(-3,2)
目标函数z=2a-b
最优解为A(-1,0),C(-3,2)
zmin=2*(-3)-2=-8,zmax=-6
因可行域不含边界，取不到2个最值
∴2a-b的取值范围(-8,-6)

追问

zmax怎么取的？

追答

参考http://58.130.5.100//

Answer 3

在区间(0,1)和(1,2)上各有一解，说明函数抛物线通过x轴的两个点且在区间（0，1），和（1，2）之间，故a^2-4b>0，F（0）>0，F（1）<0，F（2）>0，即b>0，a b<-1，2a b<-4，然后使用线性规划来求范围。