Question

求解一道曲线积分的题

求解 ∫c (y+sinx)dx + (z^2+cosy)dy +x^3dz
c是曲线 r(t)=sint i+ cost j+ sin2t k>, 0≤t≤2π

c 在曲面z=2xy 上

Answer 1

这题直接套公式就可以了。
x=sint，y=cost，z=sin2t，dx=costdt，dy=-sintdt，dz=2cos2tdt；代入得
原积分
=∫（从0到2pi） [(cost+sin(sint))*cost-(sin^2(2t)+cos(cost))*sint+2sin^3t*cos2t]dt
利用周期性，积分区间也可写为从-pi到pi，注意到
sin^2(2t)*sint和sin^3t*cos2t都是奇函数，积分值是0；
sin(sint)*cost的原函数是sin(sint)，-cos(cost)*sint的原函数是cos(cost)，积分值也都是0；
cos^2t的积分值是pi，故原积分值=pi。

Answer 2

x=sint,y=cost=(1-x^2)^(1/2),z=sin2t=2sintcost=2xy,dx=costdt,dy=-sintdt,dz=2cos2tdt,
∫c (y+sinx)dx =∫c ((1-x^2)^(1/2)+sinx)dx =1/2*arcsinx+1/2*x*(1-x^2)^(1/2)-cosx
=1/2*t+1/2*sint*cost-cos(sint)( t 从0到2π)= π
∫c (z^2+cosy)dy=∫c (4*y^2*(1-y^2)+cosy)dy=∫c (4*y^2-4y^4+cosy)dy
=4/3* y^3-4/5* y^5+siny=4/3* cost ^3-4/5* cost ^5+sin(cost) ( t 从0到2π)=0
∫c x^3dz=∫c sint ^3*2cos2tdt=∫c sint (1-cos2t)/2*2cos2tdt=∫c sint cos2tdt-∫c sint(cos2t)^2dt
=∫c sint cos2tdt-∫c sint(1-cos4t)/2*dt
=∫c sint cos2tdt-1/2*∫c sintdt+1/2*∫c sintcos4t)dt( t 从0到2π)=0
所以，原积分=π+0+0=π