Question

lim(n→∞)1/n^2+1/(n+1)^2+……+1/(n+n)^2

Answer 1

解:令Xn=1/n^2+1/(n+1)^2+1/(n+2)^2+...+1/(n+n)^2
Xn是n+1项之和,在这n+1项中,最小的是1/(n+n)^2,最大的是1/n^2, 如果Xn的每一项都用1/(n+n)^2或1/n^2来替代,则必有:
(n+1)/(n+n)^2≤Xn≤(n+1)/n^2 即(n+1)/4n^2≤Xn≤(n+1)/n^2
又1/4n=n/4n^2≤(n+1)/4n^2≤Xn≤(n+1)/n^2≤2n/n^2=2/n
当n→+∞时,lim1/4n=lim2/n=0,由两边夹原理limXn=0
即当n→+∞时,1/n^2+1/(n+1)^2+1/(n+2)^2+...+1/(n+n)^2的极限 为0。
补充知识：两边夹原理
如果数列{Xn},{Yn},{Zn}满足：
（1）存在正整数N，当n＞N时，Yn≤Xn≤Zn,
（2）当n→+∞时,limYn=limZn=a,
则数列{Xn}的极限必存在，且当n→+∞时,limXn=a

Answer 2

lim[n→+∞][1/n²+1/(n + 1)² + 1/(n + 2)² + ... + 1/(n + n)²]
= lim[n→+∞]{1/[n(1+0/n)]²+1/[n(1 + 1/n)]² + 1/[n(1 + 2/n)]² + ... + 1/[n(1 + n/n)]²}
= lim[n→+∞] (1/n²)[1+1/(1 + 1/n)² + 1/(1 + 2/n)² + ... + 1/(1 + n/n)²]
这个和可以看成定积分1+∫ 1/(1+x)^2 dx在[0,1]上的近似

所以结果为-1/(1+x)丨[0,1] =1/2

lim(n→∞)1/n^2+1/(n+1)^2+……+1/(n+n)^2=1+1/2=3/2