Question

爪型行列式解法

Answer 1

爪型行列式解法介绍如下：

爪型行列式，指的是一类看起来像爪子一样的行列式。一般指除了第一行和第一列以及对角线之外，其它元素都是0的行列式。

最典型的爪型行列式，是对角线上的元素相同，除了第一个元素之外，第一行和第一列的其它元素也都相同的形式，比如n阶行列式：D=|x,a,a,…a; a,x,0,…,0; a,0,x,…,0；…, …, …, …；a,0,0,…,x|，x不等于0，元素间用逗号分隔，行与行之间用分号分隔。

首先，将其它列都乘以-a/x，并全部加到第1列，就得到：D=|x-(n-1)a^2/x,a,a,…a; 0,x,0,…,0; 0,0,x,…,0；…, …, …, …；0,0,0,…,x|.

这是一个上三角行列式，它的值等于对角线上所有元素的积，因此，D=x^(n-1) (x-(n-1)a^2/x)=x^n-(n-1)a^2x^(n-2).

行列式解题思路

在计算行列式(特别是数字行列式)时，可先利用行列式的性质，把行列式化为上(下)三角形行列式，再利用上面的结果进行计算。

解题思路：利用行列式的性质，可逐步将所给行列式化为三角形行列式，化零时一般尽量选含有1的行(列)及含零较多的行(列)，若没有1，则可适当选取便于化为零的数，或利用行列式的性质将某行(列)中的某数化为1；若所给行列式中元素间具有某些特征，则应充分利用这些特征，常见的有：

(1)行列式所有行(或列)全部元素化为1。

(2)对爪形(三线型)行列式，可通过将其余各行(或列)的某一倍数加到第1行(或列)而化为三角形行列式。

(3)若行列式的各行(或列)之间差别不大，可采用逐行(或列)相加(或减)的方法，将其化简后进行计算。

(4)对某些行列式，可在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变，使其具有某种特征，便于计算，一般称此法为加边法。