Question

方向导数是什么

Answer 1

方向导数的定义：

方向导数是一个多元函数在一点处某个射线方向上变化时对于距离的变化率，在这变化率中同时考虑到指向恰好相反的那条射线，并令其中的距离带上负号，那就得到对称的方向导数。

拓展知识：

1、方向导数和偏导数的区别和联系：

方向导数（directional derivative）的通俗解释是：我们不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率（即偏导数），而且还要设法求得函数在其他特定方向上的变化率。而方向导数就是函数在其他特定方向上的变化率。

方向导数的条件比偏导数更弱，偏导数fx(x,y)存在则在M点没i方向与-i两个方向的方向导数存在，注意不是相等，而是互为相反数，fx(x,y)只是表示z=f(x,y)与Y=y交线上过M点切线的斜率，而在这两条直线上自点M出发有两个方向，可以有两个方向导数。

但倘若沿x轴正半轴方向的方向导数与沿x轴负半轴方向的方向导数不是相反数的话，那么关于x的偏导数就不存在。这就类似于一元函数在某点的左右导数都存在，不等于在该点的导数存在。

但左右导数与方向导数不是一回事，关键就在于方向导数中自变量的变化为沿着规定方向移动，变化就是正的，所以与方向上的右导数（正向为右）是一致的，当然与左导数就相反了。

2、多元函数方向导数与梯度的关系：

方向导数是函数梯度在方向向量u上的投影：

(1)梯度方向是函数值上升最快的方向，而函数值下降最快的方向是负梯度方向．通常，把梯度方向与负梯度方向分别叫做函数的最速上升方向与最速下降方向。

(2)函数在最大值点或最小值点处的梯度为零向量。

(3)与梯度方向成锐角的方向是函数上升的方向，与梯度方向成钝角的方向是函数下降的方向。

(4)二元函数、三元函数的梯度向量分别是相应的等值线、等值面的法线的方向向量。

Answer 2

简单分析一下，详情如图所示