Question

已知函数f(x)=(mx+n)e^-x在x=1处取得极值e^-1

1，求fx解析式，并求出fx单调区间
2，当x属于（a，+无穷）时，f（2x-a）+f（a）>2f（x），求a的取值范围

Answer 1

解：（Ⅰ）由f（x）=（mx+n）e-x，得f′（x）=-（mx+n-m）e-x．依题意，f（1）=e-1，f′（1）=0，即

(m+n)e−1＝e−1
−ne−1＝0

，解得m=1，n=0．所以f（x）=xe-x．f′（x）=-（x-1）e-x．当x∈（-∞，1）时，f′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0．所以，函数f（x）在（-∞，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减；（Ⅱ）设g（x）=f（2x-a）+f（a）-2f（x），则g′（x）=2[f′（2x-a）-f′（x）]．设h（x）=f′（x）=-（x-1）e-x，则h′（x）=（x-2）e-x．当x∈（-∞，2）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．（1）若a≥2，则当x∈（a，+∞）时，2x-a＞x，h（2x-a）＞h（x），即f′（2x-a）＞2f′（x），所以g′（x）＞0，g（x）在（a，+∞）单调递增，此时g（x）＞g（a）=0，即f（2x-a）+f（a）-2f（x）＞0．（2）若a＜2，则当x∈（a，
a+2
2
）时，2x-a＞x，h（2x-a）＜h（x），即f′（2x-a）＜2f′（x），所以g′（x）＜0，g（x）在（a，2）单调递减，此时g（x）＜g（a）=0．综上，a的取值范围是[2，+∞）．

Answer 2

dfgdgdgdg