Question

求含复合函数的定积分需要先求复合函数的导数吗?

例如a到b的定积分x/根号1-x^2,为什么要先求根号1-x^2的导数?

Answer 1

精确点的说法是求"微分"
而对于比较简单的积分时，最常用的方法是"凑微分"
由于√(1 - x^2)的导数是(0 - 2x)/[2√(1 - x^2)] = - x/√(1 - x^2)
即 d√(1 - x^2) = - x/√(1 - x^2) dx
即dx = - √(1 - x^2)/x * d√(1 - x^2)
所以∫(a→b) x/√(1 - x^2) dx
= ∫(a→b) x/√(1 - x^2) * - √(1 - x^2)/x * d√(1 - x^2)
= - ∫(a→b) d√(1 - x^2)
= - √(1 - x^2)
= √(1 - a^2) - √(1 - b^2)

如果不了解凑微分方法的话，尝试用换元u = √(1 - x^2)吧
其实要论真正的过程，不一定说是求微分，说求不定积分也可以的
∫(a→b) x/√(1 - x^2) dx
= ∫(a→b) 1/√(1 - x^2) * [x dx]，注意分子上的x
= ∫(a→b) 1/√(1 - x^2) * d(∫ x dx)，将x移进d里，变为对x求不定积分
= ∫(a→b) 1/√(1 - x^2) * d(x^2/2 + C)，把常数1/2提取出来
= ∫(a→b) 1/√(1 - x^2) * d(x^2/2)，这里的常数C变为0
= (1/2)∫(a→b) 1/√(1 - x^2) * d(x^2)，再将d里面的东西凑成1 - x^2
= (1/2)∫(a→b) 1/√(1 - x^2) * d[(- 1)(- x^2)]，先弄个- 1出来，无中生有
= (- 1/2)∫(a→b) 1/√(1 - x^2) * d(- x^2)，将一个- 1搬到积分号外
= (- 1/2)∫(a→b) 1/√(1 - x^2) * d(1 - x^2)，常数可任意加上，于是弄个1
到了这步可发现跟∫ 1/√x dx的形式是一样的，于是把整个(1 - x^2)当是自变量，直接积分了
= (- 1/2) * [(1 - x^2)^(- 1/2 + 1)]/(- 1/2 + 1)] |(a→b)，当是求∫ 1/√x dx，公式照用
= (- 1/2) * 2 * (1 - x^2)^(1/2) |(a→b)
= - √(1 - x^2) |(a→b)
= √(1 - a^2) - √(1 - b^2)

下面那个比较长的步骤用的方法是较高层次的，一旦熟练了就会做得很快，几步就完成：
∫(a→b) x/√(1 - x^2) dx
= ∫(a→b) 1/√(1 - x^2) d(x^2/2)
= (- 1/2)∫(a→b) 1/√(1 - x^2) d(1 - x^2)
= (- 1/2) * 2√(1 - x^2) |(a→b)
= √(1 - a^2) - √(1 - b^2)
做熟了就能浓缩到这几步了，只写出必要的步骤，熟练的做法。

Answer 2

不是
应该求原函数
x/根号1-x^2 = -1/2根号1-x^2d(1-x^2)
令t=1-x^2
-1/2定积分1/根号t=-t^(1/2)
即原函数是-(1-x^2)^(1/2)
再将a,b代入