Question

设等差数列{an}中,a1+a2+a3=9,a3+a15=34(1)求数列{an}的通项公式an

（2）设数列{bn}的通项公式为bn=an/(an+t),问：是存在正整数t,使得b1、b2、bm(m大于等于3，m属于N）成等差数列？若存在，求出t和m的值，若不存在，请说明理由

Answer 1

（1）a1+a2+a3=9=3a2，得a2=3;
设d为公差，则a3+a15=(a2+d)+(a2+13d)=2a2+14d=6+14d=34，得d=2;
因此an=a1+(n-1)d=a2-d+(n-1)d=-1+2n=2n-1；
（2）b1=a1/(a1+t)=1/(1+t);
b2=a2/(a2+t)=3/(3+t)
bm=am/(am+t)=(2m-1)/(2m-1+t);
则:bm-b2=b2-b1，化简得：2t*(m+mt+3t-1)=0，得t=0或t=(1-m)/(3+m)，因为m大于或等于3，因此t=(1-m)/(3+m)为非整数，所以t=0，即存在t=0，使得bn=an/(an+t),中，b1、b2、bm为等差数列；m可以是大于或等于3的任何整数。

Answer 2

(1).a1+a2+a3=9
∴a2=3
a3=3+d，a15=3+13d
a3+a15=6+14d=34
公差 d=2
∴通项 an=1+2(n-1)=2n-1
(2).b1=a1/(a1+t)=1/(1+t)
b2=a2/(a2+t)=3/(3+t)
d1=b2-b1=(3+3t-3-t)/(t²+4t+3)=2t/(t²+4t+3)
如果存在满足条件的t，则
bm=am/(am+t)=b2+d1=3/(3+t)+2t/(t²+4t+3)=(3+3t+2t)/(t²+4t+3)=(3+5t)/(t²+4t+3)
(am+t)(3+5t)=am(t²+4t+3)
5t²+(3+5am)t+3am=amt²+4amt+3am
am=5，am=-3
相矛盾，∴t=0
bn=1 m∈N，m≥3

Answer 3

(1）由前两个式子得出a1与d的两个方程，求出a1=1，d=2，所以an=2n－1