Question

如图，圆内接四边形ABCD中，CB＝CD.求证：CA²－CB²=AB×AD

如图，圆内接四边形ABCD中，CB＝CD.求证：CA²－CB²=AB×AD

Answer 1

证明：对于三角形CBA有
CA^2=CB^2+AB^2-2*AB*CB*COS<ABC
即有CA^2-CB^2=AB^2-2*AB*CB*COS<ABC
同理对于三角形CDA有
CA^2-CD^2=AB^-2*AB*CD*COS<ADC
因为CD=CB
则将上面两式相减可得：COS∠ABC=Cos∠ADC
由于cos函数在0~π为单调递减函数，则∠ABC=∠ADC
又因为圆的内接四边形对角互补即有∠ABC+∠ADC=180度
∠ABC=∠ADC=90度
由∠ABC=∠ADC,CB=CD,CA=CA得三角形ABC≌三角形ADC
AB=AD
则对于三角形ABC有
AB^2+CB^2=CA^2
CA^2-CB^2=AB^2=AB^AD
得证
（注：^2表示平方，实在是驾驭不了知道格式，一些数学输入法实在是打不出来，请见谅）
同样可使用以下证明
因为CB=CD，所以弧CD=弧CB，则∠CAD=∠CAB
又因为CA=CA，所以三角形ABC≌三角形ADC
所以∠ABC=∠ADC，AD=AB
又因为圆的内接四边形对角互补即有∠ABC+∠ADC=180度
∠ABC=∠ADC=90度
则对于三角形ABC有
AB^2+CB^2=CA^2
CA^2-CB^2=AB^2=AB^AD
得证