Question

>在梯形ABCD中,AB‖CD,∠A=90°,AB=2,BC=3,CD=1,点E是AD的中点 1求证△CDE∽△EAB

2△CDE与△CEB有可能相似吗？若相似，请给出证明过程，若不相似，请简述理由

Answer 1

（1）证明：过点C作CF⊥AB，垂足为F，如图．

∵∠A=90°，∠CFB=90°，∴AD∥CF．

∵AB∥CD，∴四边形AFCD是平行四边形．

又∵∠A=90°，∴平行四边形AFCD是矩形．（1分）

∴AF=CD=1．

∴BF=AB-AF=AB-CD=2-1=1．（1分）

在Rt△CBF中，CF=BC2-BF2=32-12=8=2×4=22，

CF=

BC2-BF2=

32-12=2

2．（1分）

∵E是AD的中点，AD=CF=2

2，∴DE=EA=

2．（1分）

∵DEAB=

22，CDAE=

12=

22，∴DEAB=

CDAE．（2分）

又∵∠CDE=∠EAB=90°，

∴△CDE∽△EAB．

Answer 2

做CF⊥AB于F
∵AB∥CD
∠A=90°
∴AFCD是矩形
∴AF=CD=1
∴BF=AB-AF=2-1=1
∴根据勾股定理，在RT△BCF中CF=√(BC²-BF8)=√(3²-1²)=2√2
∴AD=CF=2√2
∵E是AD的中点
∴DE=AE=1/2AD=√2
∴在RT△ABE中：BE=√(AE²+AB²)=√(2+2²)=√6
在RT△CDE中：CE=√(CD²+DE²)=√(1²+2)=√3
∴BE/CE=√6/√3=√2
AB/DE=2/√2=√2
AE/CD=√2/1=√2
∴BE/CE=AB/DE=AE/CD
∴△CDE∽△EAB
2、∵BE²=(√6)²=6
CE²=(√3)²=3
BC²=3²=9
BC²=BE²+CE²
∴△BEC是直角三角形
∴∠ECB=90°
∴∠ECB=∠CED=90°
∵CE/CD=√3/1=√3
BE/DE=√6/√2=√3
∴CE/CD=BE/DE
∴△CDE∽△CEB