Question

在四棱锥中,P-ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M,N分别是AB,PC中点。

（1） 求证：MN//平面PAD; （2） 求证：MN⊥CD; （3） 若∠PDA=450,求证：MN⊥面PCD.

Answer 1

第一个问题：
令PD的中点为E。
∵E、N分别是PD、PC的中点，∴EN是△PCD的中位线，∴EN∥CD、EN＝CD/2。
∵ABCD是矩形，∴CD∥AB、CD＝AB，又M是AB的中点，∴AM＝AB/2＝CD/2。
∵EN∥CD、AM∥CD，∴EN∥AM，又EN＝AM＝CD/2，∴AMNE是平行四边形，∴MN∥AE，
而AE在平面PAD上，∴MN∥平面PCD。

第二个问题：
∵PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA。
∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD。
由CD⊥PA、CD⊥AD、PA∩AD＝A，得：CD⊥平面PAD，∴AE⊥CD。
∵AMNE是平行四边形，∴MN∥AE，又AE⊥CD，∴MN⊥CD。

第三个问题：
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，又∠PDA＝45°，∴PA＝AD，又E∈PD且PE＝DE，
∴AE⊥PD。
∵CD⊥平面PAD，又AE在平面PAD上，∴AE⊥CD。
由AE⊥PD、AE⊥CD、PD∩CD＝D，得：AE⊥平面PCD，又MN∥AE，∴AE⊥平面PCD。