Question

高等数学无穷级数问题

我有解答,但是我看不懂,在这里问,是希望得到比书本上更详细的解答,万分感谢!!!

第一问我书本上的解答是比较部分和的大小,请问为什么要这样比较,为什么比较后就可以得出结论了呢?

第二问用反证法,通项为a2n与通项为a(2n-1)的级数都收敛,为什么就可以说明通项为an的级数收敛呢?(反证与题设矛盾),我记得有个定理是这样的,但是这样必须是收敛于同一个数字啊,他们收敛与不同的数字为什么还可以这样?

没分了,求详解,万分感谢!!!

Answer 1

只要注意几个问题就可以了：

1、收敛是convergent，就是级数的和是一个有限的数，无论都大，都没有关系。

2、绝对收敛是指一个正负交错的级数，各项取绝对值后，仍然收敛，就是绝对收敛。
取了绝对值之后，就是一个正项级数，各项都是正数。

3、将这个收敛的正项级数分成几个子级数后，各个子级数有各自的收敛值，这些收敛
值可以相同，可以不同，没有楼主所说的“必须是收敛于同一个数字”这个要求。

4、对于一个收敛的正项级数来说，部分不可能大于整体，所以，各子级数都收敛。

5、交错级数，相邻两相会有相互抵消一部分的现象。如果取了绝对值之后仍然收敛，
没有取绝对值之前收敛得就更快了，因为有相互抵消，收敛得更快。反过来就不一定
成立，取了绝对值可能不收敛，但是正负交错时就可能收敛。这就是条件收敛。最典
型的例子是P级数。

6、第二题中，只是条件收敛，也就是取了绝对值之后就发散。
按照那个奇偶项分成两个正项级数后，就有三种情况，需要讨论：

第一种情况，各自收敛。
如果各自收敛，那加起来肯定收敛，就是绝对收敛，而不是条件收敛。
跟题意不符，这种情况肯定不存在。

第二种情况，一个收敛，一个发散。
因为这两个都是正项级数，他们一个收敛，一个发散。当它们去掉了绝对值符号之后，
若收敛的是奇数项，发散的是偶数项，收敛的级数无法抵消相邻的发散项，整体就不
可能条件收敛。
若收敛的是偶数项，发散的是奇数项，情况一样，相邻的收敛项无法项抵消发散项。
所以这种情况也不存在。

剩下来就是两个子级数都发散的情况。
由于一个是正项发散级数，另一个是负项发散级数，彼此才有相互抵消的可能，才能
使得原级数成为条件级数。

Answer 2

1.比较部分和的大小的目的是想要说明以a(2n-1)为通项的级数的部分和有界，根据单调有界准则可知以a(2n-1)为通项的级数是收敛的.
2. 你说的收敛于同一个数字那个问题应该是数列吧？这里讨论的是级数，不是同一个问题。

追问

当limSn难以判断时,可以判断limS2n与limS2n+1是否同时存在且相等,如果存在且相等,则limSn存在,通项为un的级数收敛

以上lim均是n→无穷大

这是参考书上说的....怎么回事?