Question

计算两直线(x+3)/4=(y-6)/-3=(z-3)/2,(x-4)/8=(y+1)/-3=(z+7)/3的距离

Answer 1

计算两直线(x+3)/4=(y-6)/(-3)=(z-3)/2；(x-4)/8=(y+1)/(-3)=(z+7)/3的距离

解：直线L₁：(x+3)/4=(y-6)/(-3)=(z-3)/2；直线L₂：(x-4)/8=(y+1)/(-3)=(z+7)/3；
L₁过点(-3，6，3)；方向数为A={4，-3，2}；
L₂过点(4，-1，-7)；方向数为B={8，-3，3}；
与L₁，L₂垂直的向量C
∣i j k∣
C=A×B=∣4 -3 2∣=(-9+6)i-(12-16)j+(-12+24)k=-3i+4j+12k
∣8 -3 3∣
向量C的方向数为：C={-3，4，12}
那么过L₁且以C为法线的平面的方程为：-3(x+3)+4(y-6)+12(z-3)=0
即-3x+4y+12z-69=0...........(1)
平面(1)必平行于L₂，因此L₂上的任一点，比如(4，-1，-7)到平面(1)的距离就是L₁与L₂的距离d：
d=∣-12-4-84-69∣/√[(-3)²+4²+12²]=169/√169=13.
【检验：把直线L₁的方程改为参数形式：x=4t-3；y=-3t+6；z=2t+3；
在该直线上任取一点，比如，令t=1,，则得M(1，3，5)，代入(1)得：
-3+12+60-69=0，可见M在平面(1)上；又已知(-3，6，3)在(1)上，故直线L₁在平面(1)上。
把直线L₂的方程改为参数形式：x=8u+4；y=-3u-1；z=3u-7；
在该直线上任取一点，比如，令u=1，则得N(12，-4，-4），点N到平面(1)的距离：
d= ∣-36-16-48-69 ∣/13=169/13=13
可见L₂∥平面(1)；因此13就是L₁与L₂的距离d。】