Question

已知函数f(x)=x│x-λ│,λ∈R.

(1)若函数f(x)是奇函数,求实数λ的值.(2)当λ>2时,求函数f(x),x∈[1,2]的最小值g(λ).(3)已知λ≠0,且函数f(x)在(m,n)上既有最大值又有最小值,请分别求出实数m,n的取值范围.

Answer 1

k表示λ：
1
函数f(x)=x│x-k│，k∈R的定义域是：x∈R，又是奇函数，且：f(0)=0
f(-x)=-x|x+k|，-f(x)=-x|x-k|，故：-x|x+k|=-x|x-k|，即：x^2(x+k)^2=x^2(x-k)^2
当x=0时，上式恒成立，当x≠0时，(x+k)^2=(x-k)^2，即：4kx=0，故：k=0
2
f(x)=x│x-k│，k>2，1≤x≤2，故：x-k<0，故：f(x)=-x(x-k)=-x^2+kx=-(x-k/2)^2+k^2/4
对称轴：x=k/2>1
当k/2≤3/2，即：2<k≤3时，g(k)=f(2)=2k-4
当k/2>3/2，即：k>3时，g(k)=f(1)=k-1
3
f(x)=x│x-k|，k≠0
当x≥k时，f(x)=x(x-k)=(x-k/2)^2-k^2/4，当x<k时，f(x)=x(x-k)=(x-k/2)^2+k^2/4
1) x≥k时，函数的对称轴是：x=k/2，在x≥k时是增函数，故最小值在x=k处取得，为0
2) 当x<k时，函数的对称轴是：x=k/2，在x∈[k/2,k)时，函数是减函数
在x∈(-inf,k/2)时，函数是增函数，故x<k时函数的最大值在x=k/2处取得，为k^2/4
所以在开区间(m,n)上函数既有最大值又有最小值，需满足：m>k，n<k/2

追问

第2小题,
当k/2≤3/2
当k/2>3/2
这里的3/2是怎么来的?

追答

因为区间是[1,2]，区间的一半是3/2，你可以画个简图看看，对称轴在[1,3/2]和[3/2,2]
上时，函数图像是不同的

Answer 2

（1）显然为0
（2）分类讨论即可
（3）同上

追问

能说得具体点吗,谢谢

追答

不能，自己想把，说起来罗嗦