Question

已知函数f（x）=（ax2-2x+1）•e-x（a∈R，e为自然对数的底数）． （I） 当时，求函数f（x）的极值；

已知函数f（x）=（ax2-2x+1）•e-x（a∈R，e为自然对数的底数）．
（I） 当时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ） 若函数f（x）在[-1，1]上单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

解：（ I）当a=1时，f（x）=（x2-2x+1）•e-x，
f'（x）=（2x-2）•e-x-（x2-2x+1）•e-x=-（x-1）（x-3）•e-x
所以，当a=1时，函数f（x）的极小值为f（1）=0，极大值为f（3）=4e-3
（ II）f'（x）=（2ax-2）•e-x-（ax2-2x+1）•e-x=-e-x[ax2-2ax-2x+3]
令g（x）=ax2-2（a+1）x+3
①若a=0，则g（x）=-2x+3，在（-1，1）内，g（x）＞0，
即f'（x）＜0，函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减．
②若a＞0，则g（x）=ax2-2（a+1）x+3，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=a+1a＞1，
当且仅当g（1）≥0，即0＜a≤1时，在（-1，1）内g（x）＞0，f'（x）＜0，
函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减．
③若a＜0，则g（x）=ax2-2（a+1）x+3，其图象是开口向下的抛物线，
当且仅当g(-1)≥0g(1)≥0，即-
-5/3≤a＜0时，在（-1，1）内g（x）＞0，f'（x）＜0，
函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减．
综上所述，函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减时，a的取值范围是-5/3≤a≤1．