Question

证明f(x)=ln[x+(1+x^2)^1/2]在区间(-∞,+∞)内是单调增加函数

Answer 1

f(x)是一个复合函数,先由外部函数的底为自然数e>1,
所以外部函数是一个增函数
内部函数
x+(1+x^2)^1/2中,明显1+x^2<1+(x+1)^2
而1+x^2>=1 所以x+(1+x^2)^1/2同样也是增函数
定义域为(-∞,+∞)
内外函数都是增函数
所以f(x)=ln[x+(1+x^2)^1/2]在区间(-∞,+∞)内是单调增加函数

Answer 2

f(x)求导
{1/[x+(1+x^2)^1/2] } * (1+x/(1+x^2)^1/2)
=1/(1+x^2)^1/2 >0 x属于(-∞,+∞)
所以f(x)=ln[x+(1+x^2)^1/2]在区间(-∞,+∞)内是单调增加函数