Question

高数一道题

设f(x)＝(x²－3x＋2)sinx，则方程f'(x)＝0在(0，π)内根的个数为（）个.
A.0个 B.至多一个 C.2个 D.至少3个

Answer 1

解析：
f(x)＝(x²－3x＋2)sinx＝(x－1)(x－2)sinx.
∵f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(π)＝0
由罗尔定理，
在(0，1)、(1，2)、(2，π)内至少有一点使f'(x)＝0.
所以f(x)在(0，π)上至少有3个根！
答案选D.

Answer 2

f‘(x)＝(2x－3)sinx+(x²－3x＋2)cosx
f'(x)＝0
(2x－3)sinx+(x²－3x＋2)cosx＝0
若cosx=0
则sinx=1or-1,代入等式左边，发现矛盾
同理 cosx≠0
同理2x－3≠0
所以tanx=(x²－3x＋2)/(3-2x)
设g(x)=(x²－3x＋2)/(3-2x)
这是一个关于x=1.5为渐近线的两条单调曲线
而tanx在(0，π)是关于x=1.57为渐近线的两条单调曲线
所以选D

Answer 3

先求导，得出单调性的范围，然后再取x=0，x=π/2，x=π时的值，最后算出有几个。B

Answer 4

D
首先fx在0 1 2 pi 处为0 那么你可以试着画出大概的函数图象
下面我们拿0~1区间来说 函数值fx必为正，而0 和1出函数值为0 那么函数必定至少要有一个极值点（至少一个哦） 我们知道每个极值点导函数都为0
同理讨论1~2 2~3 所以至少有3个点

Answer 5

取0，π/2,π，再根据单调性算，B