Question

高数 极限 帮忙给出本题的解题过程，本人的解题过程错在哪步





Answer 1

你的第三行到第四行错了。
ln(1+ax)直接换成1+ax是不对的。

首先，ln(1+t)和t是等价无穷小，而不是1+t。
其次，考虑到分母上x^2，所以这里直接用无穷小代换ln(1+ax) ~ ax是不行的。因为无穷小代换本质上是一阶泰勒展开：
ln (1+ax) = ax + o(x)，这样分子中最后会出来一项o(x)（参考下面的计算），而o(x)/x^2是无法计算的。
这里应该用二阶展开：
ln(1+ax) = ax - (ax)^2/2 + o(x^2)，代入分子计算：
ax - (1-a^2 x^2)(ax - a^2*x^2/2 + o(x^2))
=ax - ax + a^3*x^3 + a^2*x^2/2 - a^4*x^4/2 - o(x^2)(1-a^2*x^2)
（注意到x^3、x^4及o(x^2)(1-a^2*x^2)都是x^2的高阶无穷小，可以吸收到o(x^2)中)
=ax - ax + a^2*x^2/2 + o(x^2)
= a^2*x^2/2 + o(x^2)

所以最后极限值为a^2/2

当然用洛必达法则也可，不过总是Taylor展开来得更快，只要记住主要函数的展开，就可以省去求导的烦恼。

Answer 2

最后一步
x趋于0，-1/x²极限不存在
所以不能拆开算

Answer 3

第三个等号；把ln(1+ax)换成1+ax是错误的。应该直接使用洛必达法则，用一次后整理下即可得到结果a^2/2

Answer 4

第二步与第三步相等？