Question

数学题一个

f(x)=1+x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+···+x^2013/2013,F(x)=f(x+4),F(x)零点均在[a,b](a<b,a,b∈Z)内,则圆x^2+y^2=b-a面积的最小值为

Answer 1

x^2+y^2=b-a面积的最小值

等价于求b-a最小值
等价于F(x)零点所在范围最小值
F(x)=f(x+4)
即f(x)图像向左移动4个单位
f(x)=1+x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+···+x^2013/2013
f`(x)=1-x+x^2-x^3.....+x^2012=(1+x^2013)/(1+x)
x<-1时 f`(x)>0
x=-1 时 f`(x)=0
x>-1时 f`(x)>0
可见f`(x)>=0,f(x)单调递增
f（-1）=1-1-1/2-1/3...-1/2013<0
f(0)=1>0,因此f(x)在-1，0之间有且仅有一个零点。
∴F(x)零点所在范围（-5，-1）
a=-5
b=-1
b-a=4
x^2+y^2=4

面积的最小值=4π

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