Question

如图,矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P为AD上一动点，PE垂直于AC，PF垂直于DB，当点P像向点D移动时，求证PE+加PF为

定值！要快啊！！！！！！！！！！！！！！！！

Answer 1

我换种证法.

过A做BD垂线交G,过P点做AG垂线交H.∠∵∴

HGFP是矩形,

∴HG=PF

∵△APH≌△PAE(角边角,图中大多直角三角形边长比均为3:4:5,都是相似的)

∴AH=PE

∴PF+PE=AG,它们长度即:矩形任意一点至对角线的距离,过1点有且仅有一条.固为定值.如果矩形边长为3,4,则其为2.4

欢迎追问.

Answer 2

解：设AC与BD相交于点O，连接OP
因为ABCD是矩形
所以三角形OAD的面积=1/4矩形ABCD的面积
OA=OD=1/2BD
角BAD=90度
由勾股定理得：
BD^2=AB^2+AD^2
因为AB=3 AD=4
所以BD=5
因为矩形ABCD的面积=AB*AD=3*4=12
所以三角形OAD的面积=3
OA=OD=5/2
因为三角形OAD的面积=三角形OAP的面积+三角形ODP的面积
因为PE垂直AC于E
PF垂直BD于F
所以三角形OAP的面积=1/2*OA*PE
三角形ODP的面积=1/2*OD*PF
所以1/2*(5/2)*(PE+PF)=3
所以PE+PF=12/5=2,4
因为2.4是定值
所以PE+PF是定值

追问

这种呢？设AC与BD交于G,连结PG

AG*PE/2+GD*PF/2=三角形ADG的面积=S
AG=GD=AC/2
所以： (PE+PF)*AC/4=S
PE+PF=4S/AC为定值
但为什么(PE+PF)*AC/4=S？

追答

因为ABCD是矩形
DG=AG=1/2AC
三角形ADG的面积=三角形AGP的面积+三角形DGP的面积
因为三角形AGP的面积=1/2*AG*PE
三角形DGP的面积=1/2*DG*PF
因为三角形ADG的面积=S
所以S==1/2AG*(PE+PF)
所以S=1/2*1/2*AC*(PE+PF)=1/4(PE+PF)

Answer 3

由题，可证明三角形AEP相似于三角形ADC，所以PE/CD=AP/AC
三角形DFP相似于三角形DAB,所以PF/AB=DP/BD
因为：AB=DC，AC=BD，AP+DP=AD
所以PF/DC=(AD-AP)/AC=AD/AC-AP/AC=AD/AC-PE/CD
所以PF/DC+PE/DC=AD/AC
所以PF+PE=DC*AD/AC
因为DC,AD,AC均为定值
所以PE+PF为定值

追问

这种呢？设AC与BD交于G,连结PG

AG*PE/2+GD*PF/2=三角形ADG的面积=S
AG=GD=AC/2
所以： (PE+PF)*AC/4=S
PE+PF=4S/AC为定值但为什么(PE+PF)*AC/4=S？

追答

其实这个方法利用的是三角形AGD的面积恒定
因为三角形AGP的面积+三角形DGP的面积=三角形AGD的面积是恒定的S
而三角形AGP的面积=PE*AG/2
三角形DGP的面积=PE*DG/2
而AG=DG
所以三角形AGP的面积+三角形DGP的面积=PE*AG/2+PE*AG/2=S
所以(PE+PF)*AG/2=S
因为AG为定值，所以PE+PF为定值
当然你也可以把(PE+PF)*AG/2=S化成(PE+PF)*AC/4=S

Answer 4

设AC与BD交于G,连结PG

AG*PE/2+GD*PF/2=三角形ADG的面积=S
AG=GD=AC/2
所以： (PE+PF)*AC/4=S
PE+PF=4S/AC为定值

追问

为什么(PE+PF)*AC/4=S？

追答

AG*PE/2+GD*PF/2=三角形ADG的面积=S
把AG=GD=AC/2代入上式：