Question

数学题求解答！

1.圆x^2+y^2-4x+2y+c=0与直线x=0相交于a.b两点，圆心为p,若三角形PAB是正三角形，则c的值是？
2.（1+tan21°）（1+tan20°）（1+tan25°）（1+tan24°）的值是多少？
3.若sina+sinb=
√2/2，则cosa+cosb的取值范围是多少？

Answer 1

解：
1.
设A坐标(0，y1)，B坐标(0，y2)，且y1<y2，则：
x²+y²-4x+2y+c=0的标准式：

(x-2)²+(y+1)²=[√(5-c)]²
∴P(2，-1)
x²+y²-4x+2y+c=0与直线x=0相交A，B，则：
y²+2y+c=0
y1,2 = [-2±√(4-4c)] /2 = -1±√(1-c)
因此：
|AB|=2√(1-c)
|PA|=√[4+(y2+1)²]=√(4+1-c)=√(5-c)
|PB|=√[4+(y1+1)²]=√(5-c)
∵△PAB为等边三角形，
∴2√(1-c)=√(5-c)
4-4c=5-c
c=-1/3
2.
根据公式：tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

tan(21°+24°)=(tan21°+tan24°)/(1－tan21°tan24°)=1
即：tan21°tan24°+tan21°+tan24°=1
∴
(1+tan21°)(1+tan24°)=1+tan21°+tan24°+tan21°tan24°=2
tan(20°+25°)=(tan20°+tan25°)/(1－tan20°tan25°)=1
即：tan20°tan25°+tan20°+tan25°=1
∴
(1+tan20°)(1+tan25°)=1+tan20°+tan25°+tan20°tan25°=2

因此：
原式=4
3.
设cosa+cosb=t，则：
(sina+sinb)²=(√2/2)²=1/2

sin²a+sin²b+2sinasinb=1/2......................(1)
(cosa+cosb)=t²
cos²a+cos²b+2cosacosb=t².....................(2)
(1)+(2)，得：
2+2(sinasinb+cosacosb)=1/2+t²
cos(a-b)=t²/2-3/4
∵-1≤cos(a-b)≤1
∴-1≤t²/2-3/4≤1
解得：
t∈[-√14/2,√14/2]
因此：
cosa+cosb∈[-√14/2,√14/2]

Answer 2

1.圆：（x-2）^2+(y+1)^2=5-c（c<5）
x=0时，y^2+2y+c=0,两根y1,y2满足y1+y2=-1
y1y2=c,y1-y2=根号（1-4c）
只需r=y1-y2即可
r=根号5-c
故，5-c=1-4c
c=-4/3

2.∵1=tan45°=tan（21°+24°）=
tan21°+tan24°
1-tan21°tan24°
，
∴1-tan21°tan24°=tan21°+tan24°，
即tan21°+tan24°+tan21°tan24°=1，
∴（1+tan21°）（1+tan24°）
=tan21°+tan24°+tan21°tan24°+1=2，
同理（1+tan20°）（1+tan25°）=2，
∴（1+tan21°）（1+tan20°）（1+tan25°）（1+tan24°）=2×2=4

3.解：sinA+sinB=根号2 /2
(sina+sinb)²=1/2
sin²a+2sinasinb+sin²b=1/2
令k=cosa+cosb
cos²a+2cosacosb+cos²b=k²
相加
因为sin²+cos²=1
所以2+2(cosacosb+sinasinb)=k²+1/2
cos(a-b)=cosacosb+sinasinb=(2k²-3)/4
-1<=cos(a-b)<=1
-1<=(2k²-3)/4<=1
-1/2<=k²<=7/2
即0<=k²<=7/2
所以-√14/2<=cosa+cosb<=√14/2

Answer 3

必修2和必修4的内容
没学