Question

在平行四边形ABCD中，M，N分别是BC，DC的中点，AM等于4,AN等于3,且角MAN等于60度，则AB等于

Answer 1

在ΔAMN中，MN=√(AM^2+AN^2-2AM*AN*cos∠MAN)=√13。
AM/sin∠ANM=MN/sin∠MAN，∴sin∠ANM=4*√3/2÷√13==2√3/√13，
∴cos∠ANM=√［1-(2√3/√13)^2］=1/√13，
延长NM交AB的延长线于E，
∵ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠E=∠MNC，∠EBM=∠C，又BM=CM，
∴ΔBME≌ΔCMN，∴BE=CN=1/2CD=1/2AB，
NE=2MN=2√13，
在ΔANE中，根据余弦定理：
AE^2=AN^2+EN^2-2AN*EN*cos∠ANM=49，
∴AE=7，
∴AB=2/3AE=14/3。

Answer 2

延长AM和NC，交于点E，做EH⊥AN，垂足为点H。
∵点M为中点
易证△ABM≌△CEM
∴AB=CE，AM=ME
∵N为中点
∴NE=CN+CE=3/2AB
∵AM=ME
∴AE=2AM=8
∵∠NAM=60°
∴AH=1/2AE=4,HE=√3/2AE=4√3
∴NH=AH-AN=1
∵∠H=90°
∴NE=√(NH²+HE²)=7
∴3/2AB=NE=7
∴AB=14/3
（没有用余弦定理，只用了特殊角的三角函数，初二的都能看懂吧。）