Question

向量a，b为非零向量，“函数f（x）=（ax+b）²为偶函数”是“a⊥b”的（ ） A：充分不必要条件

B:必要不充分条件
C：充要条件
D：极不充分也不必要条件

Answer 1

C
α为向量ab夹角，【为了方便以下a，b均表示丨a丨和丨b丨】
f(x)=a^2x^2+2abcosαX+b^2
f（-X）=a^2X^2-2abcosαX+b^2
要使f(x)为偶函数，则2abcosα=0
又a,b均非0
所以，cosα=0
且α属于0°到180°闭区间
所以α=90°
所以a垂直于b

同理，当a垂直于b时，2abcosα=0
所以可证明f(x）=a^2X^2+b^2=f(-x)
所以为偶函数

如有疑问，欢迎追问

Answer 2

f（x）=（ax+b）²=a²x²+2a·bx+b²为偶函数

等价于奇数次项的系数=0即a·b=0等价于a⊥b
故选择C：充要条件