Question

已知3阶矩阵A的特征值为-1，1，2，设B=A^2+2A-E的特征值为？

为什么相应特征值为:x^2+2x-1，想不明白，这个新矩阵并不是对角线上元素相加，其它元素也改变了值？ 为什么还可以这样算？

Answer 1

-2,2,5,把原来的特征值带入方程即可。
第一个理解，设v是A的对应特征值a的特征向量，那么Bv=(a^2+2a+-1)v,v也是B的对应于a^2+2a+-1的特征向量。从而因为A有个特征值，对应三个特征向量v1,v2,v3,所以我们也找到了B的三个特征向量，对应的特征值可以算出。
第二个理解，从矩阵看，A可以对角化，即存在可逆阵P使得，PAP^{-1}为对角阵，对角线元素为-1,1,2,从而你可以计算PBP^{-1}也是个对角阵，（注意，PA^2 P^{-1}=PAP^{-1}PAP^{-1}, 简单）对角线元素可以轻易 算出。
这两个解释本质是一样的

追问

感谢！
你的意思是可逆阵P使A对角化，也可同时使B对角化（why?代入B的表达式可得出关于A的对角阵的表达式)，由题设条件已知A的对角阵，而求出B的对角阵，从而求出特征向量.

但第一个理解：v是A的对应特征值a的特征向量，那么Bv=(a^2+2a+-1)v,v也是B的对应于a^2+2a+-1的特征向量（why？）

这个如何理解？

追答

计算一下就出来了，另外注意“对角阵的表达式”（即一个对角阵的方幂，或代入一个多项式，还是对角的。
第二，v是A的对应特征值a的特征向量，那么Bv=（A^2+2A-E）v=(a^2+2a+-1)v，根据特征向量的定义，v也是B的对应于a^2+2a+-1的特征向量

Answer 2

矩形a的行列式为a的特征值之积即-2.因为矩形a相似的对角矩阵为[-1,1,2]
，相似的矩阵的序相等，所以a的序为3。
设对矩形a特征值λ的特征向量为x，bx=a^2x+2ax-x=λ^2x+2λx-λ=(λ^2+2λ-1)x.。矩阵b的特征值为2，-2，-1
。与b相似的对角矩阵为[2，-2，-1]
希望对你有所帮助
还望采纳~~~