Question

利用等价无穷小的性质求极限

定理1：a与b是等价无穷小的充要条件：a=b+o(b)（o(b)为b的高阶无穷小）。
定理2：设a与a'为等价无穷小，b与b'为等价无穷小，a'/b'的极限存在，则a/b的极限等于a'/b'的极限。

根据以上两定理及等价无穷小的定义，求(tanx-sinx) / ((sinx)*(sinx)*(sinx))的极限。

Answer 1

这个题目我做过，直接用等价无穷小和洛必达法则做就好了哦！

原式化简下为：
（1/cosx - 1）/((sinx)*sinx) (约一个sinx)

再分子分母同时乘以cosx，即可得
（1-cosx）/((sinx)*sinx)*cosx
由于分母为因子关系，故可以用等价无穷小，也可代入x=0进入cosx。故原式可最终化为：
（1-cosx）/x*x
又因为1-cosx=2sin（x/2）*sin（x/2）
又因为x趋向0的时候，利用等价无穷小：
sin（x/2）--（x/2）

故原式=2*（x/2）*（x/2）/x*x

故原始等于1/2

以后有什么问题可以一起讨论哦

Answer 2

定理1：a与b是等价无穷小的充要条件：a=b+o(b)（o(b)为b的高阶无穷小）。
定理2：设a与a'为等价无穷小，b与b'为等价无穷小，a'/b'的极限存在，则a/b的极限等于a'/b'的极限。

根据以上两定理及等价无穷小的定义，求(tanx-sinx) / ((sinx)*(sinx)*(sinx))的极限。

Answer 3

x-0的时候，sinx=x
tanx=x-x^3/3
原来的式子就等于(x-x^3/3-x)/x^3=-1/3

Answer 4

x→0，有ln(1+x)→x、sinx→x.因此x→0时候，4x^2→0且x^2→0,那么ln(1+4x^2)～4x^2;sinx^2～x^2;于是用等价无穷小代换
lim
ln(1+4x^2)/sinx^2=4x^2/x^2=4