Question

求数学大神…高二知识，导数

证明不等式：Inx+1/x+(1/2)(x-1)^2≥1+(2/3)(1-3x)^3(x>0)题目是这样的…遇到四次方，有点不知咋整…按我打的顺序看题…
不是原题有错，是你的方法不对，你的方法是我一开始用的，你不能取零…我问过老师了…然后手机党看图有压力

Answer 1

证明不等式：Inx+1/x+(1/2)(x-1)²>1+(2/3)(1-3x)³，(x>0)

证明：设y₁=lnx+1/x+(1/2)(x-1)²； y₂=1+(2/3)(1-3x)³；
令y'₁=1/x-1/x²+x-1=(x-1+x³-x²)/x²=[(x-1)+x²(x-1)]/x²=(x-1)(x²+1)/x²=0，得驻点x=1；
当x<1时y₁'<0；当x>1时y₁'>0，故x=1是y₁的极小点，极小值y₁=y₁(1)=1；
在区间(0，1]内y₁单调减；在区间[1，+∞)内y₁单调增。
y'₂=-6(1-3x)²<0，故y₂在其定义域x>0内当单调减，y₂(1)=1-16/3=-13/3<1；
故在区间[1，+∞)内y₁>y₂恒成立，即在此区间内原不等式恒成立。
由于x➔0lim(xlnx)=x➔0lim[(lnx)/(1/x)]=x➔0lim[(1/x)/(-1/x²)]=x➔0lim(-x)=0

故x➔0limy₁=x➔0lim[lnx+1/x+(1/2)(x-1)²]=x➔0lim[(xlnx+1)/x]+(1/2)]=+∞；
y₂(0)=1+2/3=5/3；故在区间(0，1】内也恒有y₁>y₂，即在此区间内原不等式也成立。

综上所述，在x>0时原不等式成立。
【原题有错！中间的不等号应是>，不是≥，因为在定义域内y₁与y₂没有相等的时候！】
对y₁=lnx+1/x+(1/2)(x-1)²来说，x≠0，故我取的是x➔0；对 y₂=1+(2/3)(1-3x)³来说，
x➔0的极限与x=0时的定义 是一回事，因为x➔0lim y₂= y₂(0)；而且不等号要不要
带等号与这个问题没有关系。

Answer 2

那个开始的不等式的证明可以用导数证明,方法都是求导数求极小值