Question

已知函数 f(x)=-x-2/x+a(2-lnx)，a＞0，讨论f(x)的单调性。

急急急！！！！

Answer 1

f(x)=-x-2/x+a(2-lnx),求导，f(x)’=-1+2/x^2-a/x, f(x)’’=-4/x^3+a/x^2=(-4+ax)/x^3,
令f(x)’=-1+2/x^2-a/x=0，x≠0,x=(a+√(8+a^2))/2(负值舍)
当x=(a+√(8+a^2))/2时，-4+ax =-4+(a^2+a√(8+a^2))/2=(-8+ a^2+a√(8+a^2))/2,
令-8+ a^2+a√(8+a^2)>0，解得a>2/3*√6,则f(x)’’>0，有极小值；
令-8+ a^2+a√(8+a^2)<0，解得0<a<2/3*√6,则f(x)’’<0,有极大值；
在a=2/3*√6时,则f(x)’’=0，极大、极小值不确定；
再求三次导数，f(x)’’’=12/x^4-2a/x^3=(12-2ax)/x^4,
当a=2/3*√6，x=(a+√(8+a^2))/2=√6时，f(x)’’’=4>0,有极小值，
所以，当a≥2/3*√6时，在x∈(0, (a+√(8+a^2))/2]时函数f(x)递减；
在x∈ ( (a+√(8+a^2))/2，+∞]时函数f(x)递增。
当0<a<2/3*√6时，在x∈(0, (a+√(8+a^2))/2]时函数f(x)递增；
在x∈ ( (a+√(8+a^2))/2，+∞]时函数f(x)递减。