Question

已知函数f(x)=f '(π/4)cosx+sinx, 则f(π/4)的值为多少?

已知函数f(x)=f '(π/4)cosx+sinx, 则f(π/4)的值为多少?我想问的是如果对这个函数进行求导那么f '(π/4)怎么办？f '(π/4)在这个函数中具体的作用是什么？

Answer 1

f '(π/4)是个常数
由题意得 f '(x)=﹣f '(π/4)sinx＋cosx
令x=π／4，则得：f '(π/4)=﹣f '(π/4)sinπ/4 ＋cosπ／4=﹣√2/2 f '(π/4)＋√2／2
两边同时乘以√2得：√2f '(π/4)=﹣f '(π/4)＋1，解得：f '(π/4)＝√2 －1
∴f(x)=（√2 －1）cosx+sinx
∴f(π／4)=（√2 －1）×√2／2 ＋√2／2=1

补充：f'(x) 是一个含有x的函数，当x取一个数值a时对应f'(a) 也求出一个数值，题中f(x)运算法则没变
则 f'(a)也是一个不变的数

Answer 2

f'(π/4)就是一个常数，当做常数求导
∵f(x)=f'(π/4)cosx+sinx
∴f'(x)=-f'(π/4)sinx+cosx
∴f'(π/4)=-f'(π/4)sinπ/4+cosπ/4
f'(π/4)=-f'(π/4)×√2/2+√2/2
∴f'(π/4)+f'(π/4)×√2/2=√2/2
f'(π/4)=√2-1

Answer 3

两边求导得
f'(x)=-f '(π/4)sinx+cosx

然后把x=π/4代入
得到f '(π/4)
然后再把x=π/4代入f(x)=f '(π/4)cosx+sinx,即或