Question

高数一，数列的极限

证明，当n-->无穷时，(n-1)(2n-1)/6n^2---->1/3.(平方打不出来，“^”由后面的2代替)
老师给的答案是：
证：Un=(n-1)(2n-1)/6n^2=2n^2-3n+1=1/3-1/2n+1/6n^2
Un-1/3=-1/2n+1/6n^2
|Un-1/3|=|1/2n-1/6n^2|=1/2n|1-1/3n|
<1/2n(就是这里不明白，哪里来的1/2n)
对于任意给定k(代替那个反过来的3，打不出来)>0,只要1/2n<k
即n>1/2k,|Un-1/3|<k
所以，对任意给定k>0,取正整数N=[1/2k],则
当n<N时，恒有|Un-1/3|<1/2n<k
按数列极限定义，有lim(n-1)(2n-1)/6n^2=1/3
哪位好人，给我讲讲那个唯一不明白的地儿吧！
我知道了，|Un-a|<f(n)
由f(n)<k,求出N，

Answer 1

|Un-1/3|
=|1/(2n)-1/(6n^2)|
=1/(2n)|1-1/(3n)| 【提取1/(2n) 】
∵3n≥1
∴1-1/(3n)<1
即|1-1/(3n)|<1
∴ 1/(2n)|1-1/(3n)| <1/(2n) 【放大】

后面的要用到数列极限的定义：
对任意的ε>0,总存在正整数N，当n>N时，|an-A|<ε总成立
那么an的极限为常数A

本例已经有|Un-1/3|<1/(2n)
需证明：对任意的ε>0,总存在正整数N，当n>N时，|Un-1/3|<ε总成立
只要证明n足够大时，1/(2n)<ε即可
即n>1/(2ε）设[1/(2ε)]=N （ [x]为取整数部分）
那么只要n>N就有 n>1/(2ε)就有1/(2n)<ε,就有|Un-1/3|<ε了

不明白，请追问

Answer 2

你细心化简，原式的分子上面画出来是 2n^2 - 3n + 1 分母是 6n^2 然后 化简出来就是上面的那个式子，1-1/3n 因为n趋于无穷大，所以1-1/3n是小于1的，也就是 1/2n|1-1/3n| 小于 1/2n......