Question

已知函数f(x)=x^3+ax^2+2，x=2是f(x)的一个极值点，求：

1.实数a的值
2.f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值
要全过程

Answer 1

（1）f(x)=x^3+ax^2+2
f'(x)=3x^2+2ax
x=2是一个极值点，则
f'(2)=0=3*2^2+2a*2
解得a=-3
（2）由f'(x)=3x^2-6x=0
解得函数的两个极值点为x=0,和x=2
x<0或x>2时，f'(x)>0；0<x<2时，f'(x)<0
∴函数在x=0处取得极大值，x=2处取得极小值
区间[-1,3]包含区间[0,2]，
∴函数在区间[-1,3]上的极大值为f(0)=2
极小值为f(2)=2^3-3*2^2+2=-2
端点值f(-1)=-1-3+2=-2
f(3)=3^3-3*3^2+2=2
∴函数在区间[-1,3]上的最大值为2，最小值为-2