Question

对于函数f(x)=1/3|x|^3-ax^2+(2-a)|x|+b 若f(x)有六个不同的单调区间 则a的取值范围

最近在学导数，写一下大致过程

Answer 1

f(x)=1/3|x|^3-ax^2+(2-a)|x|+b
=1/3|x|^3-a|x|^2+(2-a)|x|+b
|x|=±x，函数图像左右对称
f(x)有六个单调区间，则
x>0时，有三个单调区间
f(x)=1/3x^3-ax^2+(2-a)x+b (x>0)
为三次函数，有三个单调区间则必有两个极值点
即其导数f'(x)=x^2-2ax+(2-a)有两个零点
即方程x^2-2ax+(2-a)=0有两个不同的解
由此可得△=4a^2-4(2-a)>0
解得a>1或a<-2
即a的取值范围为a>1或a<-2

追问

x>0时，有三个单调区间。那么方程x^2-2ax+(2-a)=0是不是要考虑韦达定理x1*x2>0,x1+x2>0,确保解出来的x>0？这样一算范围会缩小。

追答

是要考虑，这样有：x1+x2=2a>0, x1x2=2-a>0
这样出来的结果是：0<a<2
最后与上面的解取交集得：1<a<2
（不好意思，上面的解没考虑周全）