Question

高等数学。求高手解第五题。

Answer 1

3。求函数y=x+2cosx在[0，π/2]上的最大值
解：令y'=1-2sinx=0，得sinx=1/2，故得驻点x=π/6；当x<π/6时y'>0；当x>π/6时y'<0；
故x=π/6是极大点，极大值y=y(π/6)=π/6+2cos(π/6)=π/6+√3≈2.2557；
在区间端点上，y(0)=2；y(π/2)=π/2；故在区间[0，π、2]上函数的最大值为π/6+√3.
4。若f(t)=x➔0lim[t(1-2x)^(1/x)]，则f'(t)=?
解：f(t)=x➔0lim[t(1-2x)^(1/x)]=x➔0lim{t[(1-2x)^(-1/2x)]^(-2)}=te⁻²=t/e²；故f'(t)=1/e²。
5。设∫[f'(lnx)/x]dx=x²+C，则f(x)=?
解：设lnx=u，则x=e^u，dx=e^udu，代入原式得：
∫[f'(lnx)/x]dx=∫[f'(u)/e^u]e^udu=∫f'(u)du=(e^u)²+C=e^(2u)+C
于是得[∫f'(u)du]'=f'(u)=[e^(2u)+C]'=2e^(2u)
∴f(u)=∫2e^(2u)du=∫e^(2u)d(2u)=e^(2u)+C
将自变量u换成x，即得f(x)=e^(2x)+C

6。(d/dx)【0，x】∫sin(x-t)²dt=?
解：(d/dx)【0，x】∫sin(x-t)²dt=【0，x】∫[cos(x-t)²](2(x-t)]dt=【0，x】∫[cos(x-t)²]d[(x-t)²]
=sin(x-t)²∣【0，x】=sinx²
三。求极限x➔∞lim[x-x²ln(1+1/x)]
解：原式=x➔∞lim[x-ln(1+1/x)x²]=x➔∞lim{x-ln[(1+1/x)^x]^x}
=x➔∞lim[x-ln(e^x)]=x➔∞lim(x-x)=0

Answer 2

Answer 3

5) 解：因为 f '(x)=f '(lnx)*(lnx)'
=f '(lnx)*(1/x)
所以原积分是 f '(x)的积分。
根据积分后是 x^2+C ,可知 f '（x)=x/2
f(x)=x^2 +C

Answer 4

x^2 +C

很简单的。