Question

如图，一块长方形场地ABCD的长AB与宽AD之比为√2：1，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，连接BE，DF。

如图，一块长方形场地ABCD的长AB与宽AD之比为√2：1，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，连接BE，DF。现计划在四边形DEBF区域内种植花草，求四边形DEBF与长方形ABCD的面积之比。

Answer 1

设AB、CD为√2x，那么AD、BC=X
∴AC=√(AB²+BC²）=√3x
∵DE⊥AC,
∴∠DEA=∠ADC=90°
根据射影定理（或证明△ADE∽△ADC)
AD²=AE×AC，AE=AD²/AC=(X)²/√3X=(√3/3)X
同理CF=(√3/3)X
∴EF=AC-AE-CF=√3X-(√3/3)X-(√3/3)X=(√3/3)X
显而易见：DEBF是平行四边形（可以通过证明△ADE≌△CBF得BF=DE，DE∥BF)
∴S四边形DEBF=2S△EDF=2×1/2EF×DE=EF×DE
S矩形ABCD=2S△ADC=2×1/2AC×DE=AC×DE
∴S四边形DEBF∶S矩形ABCD=EF∶AC=(√3/3)X∶√3X=1∶3